2015高二数学之几种常见导数课件

导数的应用可谓是非常广泛的，不管是在高中阶段还是大学阶段，都是经常要用到的，大家要认真对待，下面是我们学大教育精心为大家准备的2015高二数学之几种常见导数课件，快跟着我们学大教育一起来看看这篇文章的内容吧。

●三维目标

1.知识与技能

(1)熟练掌握基本初等函数的导数公式;

(2)掌握导数的四则运算法则.

2.过程与方法

能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.

3.情感、态度与价值观

通过学习本节课，培养学生对问题的认知能力.由于利用定义求函数的导数非常复杂，本节课直接给出了几个基本初等函数的导数公式表和导数的运算法则.学生不用推导而直接去求一些简单函数的导数，认识事物之间的普遍联系，达到学有所用，在训练中也有加深了学生对学习数学的兴趣，激发学生将所学知识应用于实际的求知欲，培养浓厚的学习兴趣.

●重点、难点

重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则.

难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用.

(教师用书独具)

●教学建议

本节内容是应用导数公式和四则运算法则解决求导数问题，记住公式和法则是应用的前提，通过出示不同类型的例题与习题，进行反复的训练与强化是突破重点、难点的关键.

●教学流程

(对应学生用书第52页)

课标解读

1.了解导数公式的推导过程、理解导数的四则运算法则.(难点)

2.掌握几种常见函数的导数公式.(重点)

3.能够运用导数公式和求导法则进行求导运算.(重点) 基本初等函数的导数公式

【问题导思】

1.用导数的定义求导数的步骤是怎样的?

【提示】　求函数值的变化量;

求平均变化率;

取极值，得导数.

2.我们发现，用导数的定义求导数很复杂，能不能总结出常用函数的求导公式呢?

【提示】　能.

基本初等函数的导数公式

原函数 导函数 f(x)=c f′(x)=0 f(x)=xα(αQ*) f′(x)=α·xα-1 f(x)=sin x f′(x)=cos_x f(x)=cos x f′(x)=-sin_x

续表

原函数 导函数 f(x)=ax f′(x)=axln_a(a>0且a≠1) f(x)=ex f′(x)=ex f(x)=logax f′(x)=(a>0且a≠1) f(x)=ln x f′(x)=

导数的运算法则 【问题导思】

一个函数可以求其导数，那么两个函数加、减、乘、除能求导吗?

【提示】　能.

设两个函数f(x)，g(x)可导，则

和的 导数 [f(x)+g(x)]′=f′(x)+g′(x) 差的 导数 [f(x)-g(x)]′=f′(x)-g′(x) 积的 导数 [f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x) 商的 导数 ′=(g(x)≠0)

(对应学生用书第53页)

用求导公式求函数的导数 　求下列函数的导数

(1)y=x8　(2)y=　(3)y=

(4)y=2x　(5)y=log2x　(6)y=cos x

【思路探究】　(1)以上函数分别是什么类型的函数?

(2)这种函数的求导公式是怎样的?

【自主解答】　(1)y′=(x8)′=8x8-1=8x7.

(2)y′=()′=(x-4)′=-4x-5.

(3)y′=()′=(x)′=x-1=x-.

(4)y′=(2x)′=2xln 2.

(5)y′=(log2x)′=.

(6)y′=(cos x)′=-sin x.

1.基本初等函数的求导公式是求导数基本依据，一定要记清形式，学会使用公式求导.

2.对于形如y=，y=的函数一般先转化为幂函数的形式，再用幂函数的求导公式求导.

3.要区分指数函数、对数函数的求导公式，以免在运用时混淆.

求下列函数的导数;

(1)y=10;(2)y=x10;

(3)y=;(4)y=;

(5)y=3x;(6)y=log3x.

【解】　(1)y′=(10)′=0

(2)y′=(x10)′=10x10-1=10x9.

(3)y′=(x)′=x-1=x-= .

(4)y′=(x-)′=-x--1=-x-=- .

(5)y′=(3x)′=3xln 3.

(6)y′=(log3x)′=.

用求导公式和导数运算法则求导 　求下列函数的导数：

(1)f(x)=(x+2)(x-3);(2)f(x)=lg x-3x;

(3)f(x)=+;(4)f(x)=.

【思路探究】

【自主解答】　(1)f(x)=x2-x-6，

f′(x)=(x2-x-6)′=2x-1.

(2)f′(x)=(lg x)′-(3x)′=-3xln 3.

(3)y=+==，

y′=()′==.

(4)f(x)==1-，

f′(x)=1′-()′

1.应用导数运算法则求函数的导数的技巧：

(1)求导之前，对三角恒等式先进行化简，然后再求导，这样既减少了计算量，又可少出错.

(2)利用代数恒等变形可以避开对商的形式求导.

(3)在函数中有两个以上的因式相乘时，要注意多次使用积的求导法则，能展开的先展开成多项式，再求导.

2.应用导数运算法则求函数的导数的原则：

结合函数解析式的特点先进行恒等变形，把一个函数化成几个基本初等函数的加、减、乘、除运算，再套运算法则.

求下列函数的导数：

(1)y=x5-3x3-5x2+6;　(2)y=(2x2+3)(3x-2);

(3)y=;　(4)y=-sin (1-2cos2).

【解】　(1)y′=(x5-3x3-5x2+6)′

=(x5)′-(3x3)′-(5x2)′+6′

=5x4-9x2-10x.

(2)法一　y′=(2x2+3)′(3x-2)+(2x2+3)(3x-2)′

=4x(3x-2)+3(2x2+3)=18x2-8x+9.

法二　y=(2x2+3)(3x-2)=6x3-4x2+9x-6，

y′=18x2-8x+9.

(3)法一　y′=()′=

法二　y===1-，

y′=(1-)′=(-)′

(4)y=-sin(1-2cos2)=-sin(-cos)=sin x，y′=(sin x)′=(sin x)′=cos x.

导数的应用 　在抛物线y=-x2上求一点，使之到直线4x+3y-8=0的距离最小.

【思路探究】　(1)平行于直线4x+3y-8=0且与抛物线相切的直线与抛物线y=-x2的切点是否满足题意?

(2)该切点的坐标如何求出?

【自主解答】　如图所示，由题意知作与4x+3y-8=0平行的直线l，当l与y=-x2相切时，切点P到直线4x+3y-8=0的距离最小.

设切点为(x0，-x)，又y′=(-x2)′=-2x，

-2x0=-，x0=，y0=-x=-，

即抛物线y=-x2上的点(，-)到直线的距离最小.

利用导数的四则运算法则和基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义，可以求解一些与距离、面积有关的几何问题，解题的关键是正确运用曲线的切线.

已知点P是曲线y=x2-ln x上一点，求点P到直线y=x-2的最小距离.

【解】　过p作y=x-2的平行直线，且与曲线y=x2-ln x相切，设P(x0，x-ln x0)，则k=y′|x=x0=2x0-=1，x0=1或x0=-(舍去)，p的坐标为(1,1)

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